الوحدة الأولى — العمليّات على الكسور
كلّ ما يخصّ الكسور: الجمع والطرح والضرب والقسمة، مع التبسيط وتحويل الكسور بين أنواعها.
الكسور المتكافئة والتبسيط
الكسر المتكافئ هو كسر يساوي كسرًا آخر في القيمة لكنّه مكتوب بأرقام مختلفة. لنحوّل كسرًا إلى مكافئ نضرب البسط والمقام في نفس العدد (أو نقسم على نفس العدد للتبسيط). الكسر يكون «في أبسط صورة» حين يكون البسط والمقام بلا قاسم مشترك سوى ١.
- •ضرب البسط × ن وضرب المقام × ن = كسر مكافئ.
- •للتبسيط: اقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر.
- •كلّ كسر يقبل عددًا غير منتهٍ من المتكافئات.
- •الكسر «في أبسط صورة» = البسط والمقام لا يقبلان القسمة على نفس العدد إلا ١.
بسّط الكسر ١٢/١٨ إلى أبسط صورة.
نبحث عن أكبر عدد يقسم البسط والمقام معًا. القاسم المشترك الأكبر للعددَين ١٢ و١٨ هو ٦. نقسم: ١٢÷٦=٢ و١٨÷٦=٣. النتيجة: ٢/٣.
هل ٤/٦ و٢/٣ كسران متكافئان؟
نبسّط ٤/٦: نقسم البسط والمقام على ٢ → ٢/٣. إذًا نعم، الكسران متكافئان.
ما الكسر المكافئ لـ ٣/٥؟
ما الكسر ٢٤/٣٦ في أبسط صورة؟
الكسر ٧/١٠ في أبسط صورة.
أيّ مجموعة كسور متكافئة؟
جمع وطرح الكسور
لجمع أو طرح كسرَين بمقام واحد: نجمع/نطرح البسطَين فقط، ونثبت المقام. لجمع أو طرح كسرَين بمقامَين مختلفَين: نوحّد المقامات أوّلًا (نجعل المقامَين متساويَين بضرب كلّ كسر بما يحتاج)، ثمّ نجمع البسطَين كالعادة.
- •مقامات متساوية → اجمع/اطرح البسطَين، ثبّت المقام.
- •مقامات مختلفة → وحّد بضرب البسط والمقام بما يلزم.
- •بسّط الناتج للصورة النهائيّة.
- •إذا كان الناتج كسرًا غير حقيقي، يمكن تحويله لعدد كسري.
احسب: ٣/٧ + ٢/٧
المقامان متساويان. نجمع البسطَين: ٣+٢=٥. النتيجة: ٥/٧.
احسب: ١/٢ + ١/٣
المقامان مختلفان. أصغر مضاعف مشترك = ٦. نوحّد: ١/٢ = ٣/٦، ١/٣ = ٢/٦. نجمع: ٣/٦ + ٢/٦ = ٥/٦.
احسب: ٥/٨ - ١/٤
نوحّد المقام إلى ٨: ١/٤ = ٢/٨. نطرح: ٥/٨ - ٢/٨ = ٣/٨.
احسب: ٢/٩ + ٤/٩
احسب: ٣/٤ + ١/٦
احسب: ٧/١٠ - ١/٥
أكلَ محمّد ١/٣ من قالب حلوى وأكلت سارة ١/٤ منه. كم أكلا معًا؟
ضرب الكسور
ضرب الكسور أسهل من جمعها — لا حاجة لتوحيد المقامات. نضرب البسط في البسط مباشرة، والمقام في المقام، ثمّ نبسّط الناتج. لو ضربنا كسرًا في عدد صحيح، نضع للعدد الصحيح مقام = ١ ونتعامل معه كسرًا.
- •ضرب الكسور: بسط × بسط ÷ مقام × مقام.
- •العدد الصحيح يمكن كتابته ككسر مقامه ١.
- •نبسّط الناتج للصورة النهائيّة.
- •يمكن التبسيط قبل الضرب لتسهيل الحساب.
احسب: ٢/٣ × ٤/٥
نضرب: ٢×٤=٨ في البسط، ٣×٥=١٥ في المقام. النتيجة ٨/١٥.
احسب: ٣ × ٢/٧
نكتب ٣ ككسر: ٣/١. ثمّ نضرب: ٣×٢=٦ في البسط، ١×٧=٧ في المقام. النتيجة ٦/٧.
احسب: ١/٤ × ٢/٣
احسب: ٥ × ٢/٧
وعاء فيه ٣/٤ لتر عصير. شربت ٢/٣ منه. كم شربت بالضبط؟
قسمة الكسور
لقسمة كسر على كسر: نقلب الكسر الثاني (نجعل بسطه مقامًا والعكس)، ثمّ نضرب. هذه قاعدة سحريّة: «قلب وضرب». السبب: القسمة على كسر = الضرب في مقلوبه.
- •أ/ب ÷ ج/د = أ/ب × د/ج
- •اقلب الكسر الذي بعد ÷ ثمّ اضرب.
- •العدد الصحيح يُكتب بمقام ١ قبل القلب.
- •بسّط الناتج للصورة النهائيّة.
احسب: ٢/٣ ÷ ٤/٥
نقلب الثاني: ٤/٥ → ٥/٤. نضرب: ٢/٣ × ٥/٤ = ١٠/١٢ = ٥/٦.
كم رُبعًا في ٢؟ أي احسب ٢ ÷ ١/٤.
٢ = ٢/١. نقلب ١/٤ → ٤/١. نضرب: ٢/١ × ٤/١ = ٨/١ = ٨. أي يوجد ٨ أرباع في ٢.
احسب: ٣/٥ ÷ ١/٢
كم عددًا من نصفِ كوب في ٦ أكواب من الماء؟
احسب: ٤/٧ ÷ ٢/٣
اختبار الوحدة
5 أسئلة لقياس فهمك للوحدة كاملةً.
ما الكسر المكافئ لـ ٥/٦؟
احسب: ٣/٤ + ٢/٥
احسب: ٢/٧ × ٣/٥
احسب: ٥/٨ ÷ ١/٤
وزن صندوق ٣/٤ كجم. كم وزن ٥ صناديق؟